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016定积分与微积分根本定理

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016定积分与微积分根本定理

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西南师大年夜附中2011—2012学年高三数学(文科)第一轮复习导学案016

定积分与微积分根本定理

编写教员:冯维丽 审稿教员:高长玉

一、知识梳理 (请浏览教材选修2-2第38—67页后再完本钱学案)

1. 定积分概念

普通地,设函数()f x 在区间[,]a b 上持续,用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分红n 个小区间,每个小区间长度为

x ?(b a

x n

-?=),在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=,作和式:

1

1

()()n n

n i i i i b a

S f x f n

ξξ==-=?=∑∑

,假设x ?无穷接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无穷接近某个常数S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分. 记为:

()b

a

S f x dx =

?

.个中()f x 叫做被积函数,x 叫做积分变量,区间[,]a b 叫做积分区间,b 积分

下限,a 积分下限,()f x dx 叫做被积式.

2.定积分的几何意义

从几何上看,假设在区间[,]a b 上函数()f x 持续且恒有()0f x ≥,

那么定积分()b

a f x dx ?表示由直线x a =,x

b =(a b ≠),0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积(如右图).

解释:普通情况下,定积分

()b

a

f x dx ?

的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形和直线

x a =,x b =之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号.

3.定积分性质

(1)

()()b

b

a

a

kf x dx k f x dx =?

?;

(定积分的线性性质)

(2)

1212[()()]()()b b b

a

a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±??? (定积分的线性性质)

(3)

()()()()c

b b

a

c a f x dx f x dx f x dx a c b +=<<?

?? (定积分对积分区间的可加性)

4.微积分根本定理

普通地,假设()f x 是区间[,]a b 上的持续函数,并且()()F x f x '=,那么

()()()b

a

f x dx F b F a =-?

.

这个结论叫做微积分根本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.

(1)为了便利起见,还经常使用()|b

a F x 表示()()F

b F a -,即

()()|()()b

b a

a

f xd x Fx Fb Fa ==-?

.

(2)微积分根本定理注解,计算定积分

()b

a

f x dx ?

的关键是找到满足()()F x f x '=的函数

()F x ,平日我们可以应用根本初等函数的求导公式和导数的四则运算轨则从反偏向上求出()F x .

5.罕见求定积分的公式

(1)

11|(1)1

b

n n b

a

a x dx x n n +=

≠-+?

(2)

|b b a a cdx cx =?

(C 为常数)

(3)sin cos |b

b a a xdx x =-?

(4)cos sin |b

b a a xdx x =?

(5)

1

ln |(0)b b a

a dx x

b a x

=>>?

(6)

|b x x b a

a

e dx e =?

(7)

|(01)

ln x b x

b

a

a a a dx a a a

=>≠?

6. 几种典范的曲边梯形面积的计算办法

(1)由三条直线x a =、x b =(a b <)、x 轴,一条曲线

()(()0)y f x f x =≥所围成的曲边梯形的面积:()b

a

S f x dx =?;

(2)由三条直线x a =、x b =(a b <)、x 轴,一条曲线

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